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Im `F33f`_`[mathematischen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Mathematik]`_`f Teilgebiet der `F33f`_`[Algebra`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Algebra]`_`f ist ein `!freier Modul`! ein `F33f`_`[Modul`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Modul_(Mathematik)]`_`f, der eine `F33f`_`[Basis`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Basis_(Modul)]`_`f besitzt. Damit ist der Begriff des freien Moduls eine Verallgemeinerung der Begriffe `F33f`_`[Vektorraum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Vektorraum]`_`f oder `F33f`_`[freie abelsche Gruppe`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Freie_abelsche_Gruppe]`_`f.

>>Contents

• `F0af`_`[Definition`#definition]`_`f

• `F0af`_`[Anmerkungen`#anmerkungen]`_`f

• `F0af`_`[Erste Beispiele und Gegenbeispiele`#erste-beispiele-und-gegenbeispiele]`_`f

• `F0af`_`[Der Rang eines freien Moduls`#der-rang-eines-freien-moduls]`_`f

• `F0af`_`[Eigenschaften freier Moduln`#eigenschaften-freier-moduln]`_`f

• `F0af`_`[Allgemeine Eigenschaften`#allgemeine-eigenschaften]`_`f

• `F0af`_`[Freie Moduln über besonderen Ringen`#freie-moduln-ber-besonderen-ringen]`_`f

• `F0af`_`[Konstruktion`#konstruktion]`_`f

• `F0af`_`[Abschwächungen`#abschw-chungen]`_`f

• `F0af`_`[Siehe auch`#siehe-auch]`_`f

• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f

• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f

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>>Definition

Eine Familie B := { b i ∣ ∣ i ∈ ∈ I } {\\displaystyle B:=\\{b_{i}\\mid i\\in I\\}} von Elementen eines Moduls (oder allgemeiner eines Linksmoduls) F {\\displaystyle F} über einem `F33f`_`[Ring`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ring_(Algebra)]`_`f R {\\displaystyle R} heißt `*linear unabhängig`* oder `*frei`*, wenn für jede endliche Indexmenge J ⊆ ⊆ I {\\displaystyle \\textstyle J\\subseteq I} und alle r i ∈ ∈ R {\\displaystyle \\textstyle r_{i}\\in R} gilt:

∑ ∑ i ∈ ∈ J r i ⋅ ⋅ b i = 0 ⇒ ⇒ ∀ ∀ i ∈ ∈ J : : r i = 0. {\\displaystyle \\sum _{i\\in J}r_{i}\\cdot b_{i}=0\\;\\Rightarrow \\;\\forall i\\in J\\colon \\,r_{i}=0.}

Erzeugen die { b i ∣ ∣ i ∈ ∈ I } {\\displaystyle \\{b_{i}\\mid i\\in I\\}} zugleich den Modul F {\\displaystyle F} , so heißt B {\\displaystyle B} eine `*Basis`* (von F {\\displaystyle F} ) und der Modul F {\\displaystyle F} heißt der freie R {\\displaystyle R} -Modul über B {\\displaystyle B} oder auch einfach `*frei`*.

>>Anmerkungen

>>>Erste Beispiele und Gegenbeispiele

1. Jeder Ring R {\\displaystyle R} mit Einselement ist über sich selbst frei. Das heißt, R R {\\displaystyle R_{R}} ist freier Rechtsmodul. Entsprechend ist R R {\\displaystyle _{R}R} ein freier Linksmodul.

2. Ist 1 < n ∈ ∈ N {\\displaystyle 1<n\\in \\mathbb {N} } , so ist der Z {\\displaystyle \\mathbb {Z} } -Modul Z / n Z {\\displaystyle \\mathbb {Z} /n\\mathbb {Z} } nicht frei. Der Grund ist, dass für jede `F33f`_`[Restklasse`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Restklasse]`_`f b + n Z ∈ ∈ Z / n Z {\\displaystyle b+n\\mathbb {Z} \\in \\mathbb {Z} /n\\mathbb {Z} } gilt, dass n ⋅ ⋅ ( b + n Z ) = 0 + n Z {\\displaystyle n\\cdot (b+n\\mathbb {Z} )=0+n\\mathbb {Z} } . Keine Menge von Restklassen kann also linear unabhängig sein.

3. Der Z {\\displaystyle \\mathbb {Z} } -Modul Q {\\displaystyle \\mathbb {Q} } ist `F33f`_`[torsionsfrei`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Torsionsfrei]`_`f, aber nicht frei (freie Moduln sind immer torsionsfrei).

4. Ist n {\\displaystyle n} eine natürliche Zahl, so ist R n = { ( r 1 , … … , r n ) ∣ ∣ r 1 , … … r n ∈ ∈ R } {\\displaystyle R^{n}=\\left\\{{\\begin{pmatrix}r_{1},\\dots ,r_{n}\\end{pmatrix}}\\mid r_{1},\\dots r_{n}\\in R\\right\\}} ein freier Modul. Eine Basis ist die Familie ( e i ∣ ∣ i ∈ ∈ { 1 , … … , n } ) {\\displaystyle (e_{i}\\mid i\\in \\{1,\\dots ,n\\})} . Dabei ist die i {\\displaystyle i} -te Komponente von e i {\\displaystyle e_{i}} gleich 1 {\\displaystyle 1} , alle anderen Komponenten sind 0 {\\displaystyle 0} . Dieses Beispiel ordnet sich folgender Situation unter: Ist I {\\displaystyle I} eine beliebige Menge, und ( F i | i ∈ ∈ I ) {\\displaystyle (F_{i}|i\\in I)} eine Familie von Moduln, so ist das `F33f`_`[Koprodukt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Produkt_von_Moduln]`_`f ⨁ ⨁ i ∈ ∈ I F i {\\displaystyle \\bigoplus _{i\\in I}F_{i}} genau dann frei, wenn alle F i {\\displaystyle F_{i}} frei sind. Insbesondere ist R ( I ) {\\displaystyle R^{(I)}} frei.

5. Das Produkt einer Familie von freien Moduln ist im Allgemeinen nicht frei. So ist beispielsweise Z N {\\displaystyle \\mathbb {Z} ^{\\mathbb {N} }} nicht frei.`:cite-ref-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-1]`_`f]

6. Der `F33f`_`[Polynomring`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Polynomring]`_`f R [ X ] {\\displaystyle \\textstyle R[X]} über dem Ring R {\\displaystyle R} ist ein freier Modul mit Basis ( X i | i ∈ ∈ N ) {\\displaystyle (X^{i}|i\\in \\mathbb {N} )} .

7. Die Menge der positiven rationalen Zahlen Q + {\\displaystyle \\mathbb {Q} ^{+}} ist bezüglich der Multiplikation eine kommutative Gruppe. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung lässt sich jedes r ∈ ∈ Q + {\\displaystyle r\\in \\mathbb {Q} ^{+}} eindeutig schreiben r = p 1 z 1 ⋯ ⋯ p n z n {\\displaystyle r=p_{1}^{z_{1}}\\cdots p_{n}^{z_{n}}} mit Primzahlen p 1 , … … , p n {\\displaystyle p_{1},\\dots ,p_{n}} . Es ist also Q + {\\displaystyle \\mathbb {Q} ^{+}} eine freie abelsche Gruppe mit abzählbarer Basis.

8. Der Ring R {\\displaystyle R} ist genau dann ein `F33f`_`[Schiefkörper`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Schiefkörper]`_`f, wenn jeder Modul über diesem Ring frei ist.

>>>Der Rang eines freien Moduls

Viele der Sätze über Basen von Vektorräumen gelten bei freien Moduln nicht mehr:

1. Ist V {\\displaystyle \\textstyle V} ein Vektorraum über dem Körper K {\\displaystyle K} mit einer Basis von n {\\displaystyle \\textstyle n} Elementen, so ist jedes System von n {\\displaystyle \\textstyle n} freien Elementen auch ein Erzeugendensystem, also eine Basis. Über Ringen gilt das im Allgemeinen nicht: So ist beispielsweise im Z {\\displaystyle \\mathbb {Z} } -Modul Z {\\displaystyle \\mathbb {Z} } die Menge { 2 } {\\displaystyle \\textstyle \\{2\\}} frei, aber keine Basis.

2. Ist V {\\displaystyle V} ein Vektorraum, so sind je zwei Basen gleich mächtig. Dies gilt noch bei kommutativen Ringen. Ist also der Ring R {\\displaystyle R} kommutativ und R n ≅ ≅ R m {\\displaystyle R^{n}\\cong R^{m}} , so ist n = m {\\displaystyle n=m} . Einen kurzen relativ elementaren Beweis hierzu findet man in dem Buch von Jens Carsten Jantzen und `F33f`_`[Joachim Schwermer`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Joachim_Schwermer]`_`f.`:cite-ref-2[`F5bf`_`[2`#cite-note-2]`_`f] Über nicht kommutativen Ringen R {\\displaystyle R} ist der Satz im Allgemeinen falsch. Ein Beispiel ist die Menge der R {\\displaystyle R} -Endomorphismen eines freien R {\\displaystyle R} -Moduls mit unendlicher Basis. Man kann daher den Rang eines freien Moduls nicht allgemein definieren. Ringe, bei denen je zwei Basen eines freien Moduls gleich mächtig sind, heißen `*IBN`*-Ringe.`:cite-ref-3[`F5bf`_`[3`#cite-note-3]`_`f] `F33f`_`[Noethersche Ringe`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Noetherscher_Ring]`_`f haben diese Eigenschaft.

3. Es gilt allgemeiner: Ist ρ ρ : : R → → S {\\displaystyle \\rho \\colon R\\rightarrow S} ein Homomorphismus von Ringen und ist S {\\displaystyle S} ein IBN-Ring, so auch R {\\displaystyle R} . Gibt es also beispielsweise von R {\\displaystyle R} einen Ringhomomorphismus nach einem noetherschen Ring S {\\displaystyle S} , so ist R {\\displaystyle R} ein IBN-Ring.

>>Eigenschaften freier Moduln

>>>Allgemeine Eigenschaften

1. Ist ( m i | i ∈ ∈ I ) {\\displaystyle (m_{i}|i\\in I)} eine Familie von Elementen aus dem Modul M {\\displaystyle M} , so gibt es genau einen `F33f`_`[Homomorphismus`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Modulhomomorphismus]`_`f R ( I ) = ⨁ ⨁ i ∈ ∈ I R e i → → M {\\displaystyle R^{(I)}=\\bigoplus _{i\\in I}Re_{i}\\rightarrow M} mit f ( e i ) = m i {\\displaystyle f(e_{i})=m_{i}} . Dabei ist ( e i | i ∈ ∈ I ) {\\displaystyle (e_{i}|i\\in I)} eine Basis (im Zweifel die kanonische) von R ( I ) {\\displaystyle R^{(I)}} . Erzeugt die Familie ( m i | i ∈ ∈ I ) {\\displaystyle (m_{i}|i\\in I)} den Modul M {\\displaystyle M} , so ist f {\\displaystyle f} ein Epimorphismus. Jeder Modul ist also epimorphes Bild eines freien Moduls.

2. Ist F {\\displaystyle F} ein freier Modul und f : : M → → F {\\displaystyle f\\colon M\\rightarrow F} ein Epimorphismus, so ist Kern ⁡ ⁡ ( f ) {\\displaystyle \\operatorname {Kern} (f)} `F33f`_`[direkter Summand`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Untermodul]`_`f in M {\\displaystyle M} . Es gibt ein g : : F → → M {\\displaystyle g\\colon F\\rightarrow M} mit f ∘ ∘ g = 1 F {\\displaystyle f\\circ g=\\mathbf {1} _{F}} .

3. Die Aussage 1. kann allgemeiner und zugleich genauer ausgedrückt werden. Zu jeder Menge X {\\displaystyle X} gehört der freie Modul F ( X ) := R ( X ) {\\displaystyle \\mathbf {F} (X):=R^{(X)}} und die kanonische injektive Abbildung Φ Φ ( X ) : : X ∋ ∋ x ↦ ↦ e x ∈ ∈ R ( X ) {\\displaystyle \\Phi (X)\\colon X\\ni x\\mapsto e_{x}\\in R^{(X)}} . Ist Y {\\displaystyle Y} eine weitere Menge und α α : : X → → Y {\\displaystyle \\alpha \\colon X\\rightarrow Y} eine Abbildung zwischen den Mengen, so gibt es zu der Familie ( e α α ( x ) | x ∈ ∈ X ) {\\displaystyle (e_{\\alpha (x)}|x\\in X)} genau einen Homomorphismus F ( α α ) : : F ( X ) → → F ( Y ) {\\displaystyle \\mathbf {F} (\\alpha )\\colon \\mathbf {F} (X)\\rightarrow \\mathbf {F} (Y)} , so dass F ( α α ) ∘ ∘ Φ Φ ( X ) = Φ Φ ( Y ) ∘ ∘ α α {\\displaystyle \\mathbf {F} (\\alpha )\\circ \\Phi (X)=\\Phi (Y)\\circ \\alpha } gilt. Das heißt, folgendes Diagramm ist kommutativ: Sind α α : : X → → Y β β : : Y → → Z {\\displaystyle \\alpha \\colon X\\rightarrow Y\\,\\beta \\colon Y\\rightarrow Z} Abbildungen, so ist F ( α α ∘ ∘ β β ) = F ( α α ) ∘ ∘ F ( β β ) {\\displaystyle \\mathbf {F} (\\alpha \\circ \\beta )=\\mathbf {F} (\\alpha )\\circ \\mathbf {F} (\\beta )} . In der Sprache der `F33f`_`[Kategorientheorie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kategorientheorie]`_`f lässt sich das so ausdrücken: F {\\displaystyle \\mathbf {F} } ist ein treuer Funktor von der Kategorie der Mengen in die Kategorie der freien Moduln. Φ Φ {\\displaystyle \\Phi } ist ein funktorieller Monomorphismus zwischen dem Identitätsfunktor und dem Funktor F {\\displaystyle \\mathbf {F} } .

4. Wie in 3. gehört zu jedem Modul M {\\displaystyle M} der freie Modul F ( M ) = R ( M ) = ⨁ ⨁ m ∈ ∈ M R e m {\\displaystyle F(M)=R^{(M)}=\\bigoplus _{m\\in M}Re_{m}} . Dazu gehört der eindeutig bestimmte Epimorphismus Ψ Ψ ( M ) : F ( M ) ∋ ∋ e m ↦ ↦ m ∈ ∈ M {\\displaystyle \\Psi (M):F(M)\\ni e_{m}\\mapsto m\\in M} . Für alle α α : : M → → N {\\displaystyle \\alpha \\colon M\\rightarrow N} ist Ψ Ψ ( N ) ∘ ∘ F ( α α ) = α α ∘ ∘ Ψ Ψ ( N ) {\\displaystyle \\Psi (N)\\circ F(\\alpha )=\\alpha \\circ \\Psi (N)} . Es ist Ψ Ψ {\\displaystyle \\Psi } ein funktorieller Epimorphismus zwischen dem Funktor F {\\displaystyle \\mathbf {F} } und dem Identitätsfunktor.

>>>Freie Moduln über besonderen Ringen

1. Über `F33f`_`[Hauptidealringen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hauptidealring]`_`f ist jeder Untermodul eines freien Moduls wieder frei.

2. Über `F33f`_`[lokalen Ringen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lokaler_Ring]`_`f sind alle `F33f`_`[direkte Summanden`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Untermodul]`_`f von freien Moduln (das sind `F33f`_`[projektive Moduln`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Projektives_Objekt]`_`f) frei.

>>Konstruktion

Zu jeder Menge S {\\displaystyle S} und jedem Ring R {\\displaystyle R} gibt es den freien R {\\displaystyle R} -Linksmodul F S {\\displaystyle FS} über S {\\displaystyle S} . Sein Träger ist die Menge der formalen Linearkombinationen von S {\\displaystyle S} -Elementen, kodiert etwa als F S := { v : : S → → R ∣ ∣ { s ∈ ∈ S ∣ ∣ v ( s ) ≠ ≠ 0 } endlich } {\\displaystyle FS:=\\{v\\colon S\\to R\\mid \\{s\\in S\\mid v(s)\\neq 0\\}{\\text{ endlich}}\\}} . Addition und Skalarmultiplikation erfolgen dabei punktweise:

Die Elemente von S {\\displaystyle S} sind hierbei keine Elemente von F S {\\displaystyle FS} . Wenn R {\\displaystyle R} eine 1 =: e {\\displaystyle 1=:e} (oder auch nur eine Links-Erzeugende e {\\displaystyle e} mit Z e + R e = R {\\displaystyle \\mathbb {Z} e+Re=R} ) hat, so lassen sie sich aber einbetten mittels

Der freie R {\\displaystyle R} -Rechtsmodul ist der freie R op {\\displaystyle R^{\\text{op}}} -Linksmodul, wobei R op {\\displaystyle R^{\\text{op}}} den `F33f`_`[Gegenring`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gegenring]`_`f von R {\\displaystyle R} bezeichnet.

>>Abschwächungen

Das folgende Diagramm setzt die Freiheit eines Moduls M {\\displaystyle M} über einem kommutativen Ring A {\\displaystyle A} mit den Eigenschaften `F33f`_`[projektiv`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Projektiver_Modul]`_`f, `F33f`_`[flach`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Flachheit_(Algebra)]`_`f und `F33f`_`[torsionsfrei`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Torsion_(Algebra)]`_`f in Beziehung:

>>Siehe auch

• `F33f`_`[Basis (Vektorraum)`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Basis_(Vektorraum)]`_`f

• `F33f`_`[Projektives Objekt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Projektives_Objekt]`_`f

>>Literatur

• Tsit-Yuen Lam: `*Lectures on modules and rings.`* GTM 189, Springer, 1999, ISBN 0-387-98428-3.

• Friedrich Kasch: `*Moduln und Ringe.`* Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7.

• Robert Wisbauer: `*Grundlagen der Modul- und Ringtheorie.`* Reinhard Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1.

>>Einzelnachweise

`:cite-note-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1]`_`f Tsit-Yuen Lam: `*Lectures on modules and rings.`* GTM 189, Springer, 1999, ISBN 0-387-98428-3, S. 22 f.

`:cite-note-2`!2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-2]`_`f Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: `*Algebra`*, Springer, 2006, ISBN 3-540-21380-5, doi:10.1007/3-540-29287-X, Seite 165

`:cite-note-3`!3.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-3]`_`f Siehe hierzu den Artikel en:Invariant basis number

`c`F0af`_`[↑ Back to top`#top]`_`f`a